【数学IA】多項式の積

今回は複雑な多項式の展開について解いていきます。複雑といっても、多項式の展開公式を覚えていなくても、分配法則を使って解くことのできる問題です。ただ、公式を覚えていたり、展開するときに工夫をすると簡単かつ素早く解くことができる問題になっています。

  1. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
  2. (x+2)(x+3)(x-1)(x-6)
  3. (a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2+(a+b-c)^2
  4. (x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)

この4つの式を展開していきます。

ポイント1:共通の式を作る(式1., 2.)

多項式の積を展開するにあたって、意識するとよい一つ目のポイントは、展開の途中で共通の式を作ることです。共通の式を作ることで、共通部分を一つの文字のように扱って展開をすることができるようになります。具体的に、式1.でみてみましょう。

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)

と並べ替えます。前2つと後ろ2つに分けて展開すると次のようになります。

(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) =  (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)

お分かりの通り、x^2+5xが共通の式になっています。この部分を一つの文字と考えると、

(x^2+5x+5)(x^2+5x+6) = (x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24

= x^4+10x^3+35x^2+50x+24

と展開できます。

式2.も共通の式を作ることを考えて展開してみましょう。それでは少し考えてみてください。

・・・・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・

・・・・・

・・・

このように展開することで、共通の式を作り出すことができます。

(x+2)(x+3)(x-1)(x-6) = (x^2+5x+6)(x^2-7x+6)

式2.では共通の式はx^2+6です。この部分を一つの文字とみると、次のように展開できます。

(x^2+5x+6)(x^2-7x+6) = (x^2+6)^2-2x(x^2+6)-35x^2

(x^2+6)^2-2x(x^2+6)-35x^2 = x^4-2x^3-23x^2-12x+36

このように共通の式を作り出すと、多項式の展開を簡単に素早く行うことができます。

ポイント2:一つの文字について整理する

多項式の展開をするにあたって、気を付けるとよい2つ目のポイントは、一つの文字について整理して展開するという点です。複数の文字があるときに使うと有効です。式3.でみてみましょう。

(a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2+(a+b-c)^2

aについて整理すると、

(a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2+(a+b-c)^2

=\{ a+(b+c)\} ^2+\{ a-(b+c)\} ^2+\{a-(b-c)\} ^2+\{a+(b-c)\} ^2

=2a^2+2(b+c)^2+2a^2+2(b-c)^2=4a^2+4b^2+4c^2

と展開できます。このとき、

(a+b)^2+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2a^2+2b^2

であることを利用して、式の展開を行っています。式3.を展開した結果は非常にシンプルな式になっています。余裕があれば公式として覚えてみてはいかがでしょうか。

それでは、続いて式4.の展開をやってみましょう。少し考えてみてください。

・・・・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・

・・・・・

・・・

xについて整理して展開すると、次のようになります。

(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)

=-\{x+(y+z)\} \{x-(y+z)\} \{x-(y-z)\} \{x+(y-z)\}

=-\{ x^2-(y+z)^2\} \{ x^2-(y-z)^2\}

=-[x^4-\{ (y+z)^2+(y-z)^2\} +(y^2-z^2)^2]

=-\{ x^4-2(y^2+z^2)x^2+y^4-2y^2z^2+z^4\}

=-x^4-y^4-z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2

xについて整理することで、非常に計算が楽になっていることがお分かりいただけるでしょうか。

まとめ

多項式の積の展開について、2つのポイントと4つの例題について紹介しました。式の展開は数学IAから先でもずっと出てきます。(もちろん大学の範囲でも)

様々な問題を解いて、早いうちから式の展開に慣れておきましょう。最後までお読みいただきありがとうございます。それでは、また別の記事でお会いしましょう。

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はじめまして!”あおやぎ”と言います。
メーカーで研究開発の仕事をしています。このブログでは、私の専門分野である半導体やそれに関連する内容を紹介していきます。
半導体関連の知識をまとめたデータベースのようにしたいなと思っています。

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