HgCV波形の計算　空乏層の見積もり、伝導帯のバイアス依存の計算

水銀CV（Mercury Probe CV）測定を想定する場合、金属（水銀）と半導体の間に形成されるショットキー接合としてモデル化するのが一般的です。

pn接合との大きな違いは、金属側の空乏層を無視できるため、計算式がよりシンプルになる点です。また、コンダクションバンド（伝導帯）のポテンシャル形状 $E_c(x)$ は、ポアソン方程式を2回積分することで放物線状のプロットとして得られます。

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1. ショットキー接合の数式

空乏層幅

外部バイアス （逆バイアスのとき負）を加えたときの空乏層幅は以下の通りです。

※  は拡散項（Debye lengthの影響）ですが、通常は省略されることも多いです。

伝導帯の形状

空乏層内（）での電位分布  を求め、エネルギー単位に変換します。

（表面）で最大値（障壁高さ）となり、  でバルクの値に収束します。

バルクの  の算出

非縮退半導体近似を用いると、伝導帯下端 とフェルミ準位  の差は以下の式で求まります。

ここで、 は有効状態密度であり、GaN（300K）では以下の値を用います。

• 

• (at 300K)

ショットキー障壁と内蔵電位

水銀(Hg)とn型GaNの界面における障壁高さ は文献によりますが、一般に 程度です。

内蔵電位 は、表面の曲がりからバルクのオフセットを引いたものになります。

2. Pythonコード

GaNだけでなく、AlGaNでも計算ができるように線形補間でAl組成によるパラメータ変化を仮定し、コンダクションバンドとプロットをできるプログラムを作りました。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import argparse

def get_algan_properties(al_ratio, Nd, T=300):
    q = 1.602e-19
    k = 1.38e-23
    k_ev = 8.617e-5
    eps0 = 8.854e-14
    m0 = 9.11e-31
    h = 6.626e-34
    
    eps_r = al_ratio * 8.5 + (1 - al_ratio) * 8.9
    eps_s = eps0 * eps_r
    me_star = (al_ratio * 0.3 + (1 - al_ratio) * 0.2) * m0
    phi_bn = 1.1 + 1.5 * al_ratio 
    
    nc = 2 * [I]2 * np.pi * me_star * k * T) / (h**2**(1.5) * 1e-6
    Ec_Ef_bulk = (k_ev * T) * np.log(nc / Nd) if Nd < nc else 0
    Vbi = phi_bn - Ec_Ef_bulk
    
    return eps_s, Vbi, Ec_Ef_bulk, q

def main():
    parser = argparse.ArgumentParser()
    parser.add_argument('--al', type=float, default=0.2, help='Al composition (0-1)')
    parser.add_argument('--nd', type=float, default=1e17, help='Donor concentration [cm^-3]')
    parser.add_argument('--v_min', type=float, default=-10.0, help='Min voltage [V]')
    parser.add_argument('--v_max', type=float, default=0.0, help='Max voltage [V]')
    parser.add_argument('--area', type=float, default=5e-3, help='Probe area [cm^2]')
    args = parser.parse_args()

    # 物性値の取得
    eps_s, Vbi, Ec_Ef_bulk, q = get_algan_properties(args.al, args.nd)
    
    # 電圧スイープデータの作成
    v_sweep = np.linspace(args.v_min, args.v_max, 100)
    w_list = []
    c_list = []
    
    for v in v_sweep:
        pot = Vbi - v
        w = np.sqrt[II]2 * eps_s / q / args.nd) * pot) if pot > 0 else 1e-9
        c = (eps_s / w) * args.area * 1e12 # [pF]
        w_list.append(w)
        c_list.append(c)
    
    w_sweep = np.array(w_list)
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    # --- 1. バンドプロファイル (V_min と V_max) ---
    x_plot = np.linspace(0, max(w_sweep)*1.5, 500)
    for v_val, col, lbl in zip([args.v_min, args.v_max], ['crimson', 'dodgerblue'], ['V_min', 'V_max']):
        pot = Vbi - v_val
        w_val = np.sqrt[III]2 * eps_s / q / args.nd) * pot) if pot > 0 else 0
        Ec = np.full_like(x_plot, Ec_Ef_bulk)
        mask = x_plot <= w_val
        Ec[mask] = (q * args.nd / (2 * eps_s * (w_val - x_plot[mask])**2 + Ec_Ef_bulk
        ax1.plot(x_plot * 1e7, Ec, color=col, lw=2, label=f'Ec at {v_val}V')
        ax1.axvline(w_val * 1e7, color=col, linestyle='--', alpha=0.5)

    ax1.axhline(0, color='black', lw=1, label='Ef')
    ax1.set_title("Band Profile Comparison")
    ax1.set_xlabel("Depth [nm]")
    ax1.set_ylabel("Energy [eV]")
    ax1.legend()
    ax1.grid(True, alpha=0.2)

    # --- 2. C-V カーブ ---
    ax2.plot(v_sweep, c_sweep, color='blue', lw=2)
    ax2.scatter([args.v_min, args.v_max], [c_sweep[0], c_sweep[-1]], color=['crimson', 'dodgerblue'], zorder=5)
    ax2.set_title("C-V Characteristics")
    ax2.set_xlabel("Bias Voltage [V]")
    ax2.set_ylabel("Capacitance [pF]")
    ax2.grid(True, alpha=0.2)

    # --- 3. 1/C^2 - V プロット ---
    ax3.plot(v_sweep, inv_c2_sweep, color='red', lw=2)
    ax3.scatter([args.v_min, args.v_max], [inv_c2_sweep[0], inv_c2_sweep[-1]], color=['crimson', 'dodgerblue'], zorder=5)
    ax3.set_title("$1/C^2$ - V Plot")
    ax3.set_xlabel("Bias Voltage [V]")
    ax3.set_ylabel("$1/C^2$ [$pF^{-2}$]")
    ax3.grid(True, alpha=0.2)

    plt.tight_layout()
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    main()

Al組成、ドナー密度、CV測定の電圧の最小・最大値、Hgプローブの面積を変数に実行することができる。