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半導体物理

【半導体物理】状態密度関数の算出

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フェルミ準位の算出や半導体中のキャリア密度の算出は半導体物理の基礎とされています。例えば、半導体の伝導帯中に存在する電子数は、

n = \displaystyle \int _{E_{C}}^{\infty} N(E)F(E) dE

であらわされます。N(E)は伝導帯の状態密度関数、F(E)は電子の状態の占有確率でフェルミ-ディラック分布の式、

F(E) = \displaystyle \frac{1}{1+\exp [(E-E_{F})/kT]}

で表されます。これは電子がフェルミ-ディラック分布に従うということが熱・統計力学から示されているからで、そちらについては統計力学の教科書を参考にしてください。

さて、状態密度関数N(E)は、

N(E) = \displaystyle M_{C}\frac{\sqrt{2}}{\pi ^2}\frac{m_{de}^{3/2}(E-E_{C})^{1/2}}{\hbar ^3}

と表されます。ここで、M_{C}は等価な伝導帯の下端の数、m_{de}は状態密度の等価な電子の有効質量で、m_{de} = (m^{*}_{1} m^{*}_{2} m^{*}_{3})^{1/3}で表されます。

この状態密度関数N(E)はどのように導出されているのでしょうか。ここでは状態密度関数の導出について説明したいと思います。

無限の高さの障壁をもつ矩形井戸ポテンシャルを考える

伝導帯の電子の状態密度は無限の高さの障壁をもつ矩形井戸ポテンシャル内に存在する電子の状態密度と考えられます。
1電子近似で、無限に高い障壁をもった矩形井戸ポテンシャル内の電子に対する、時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、

\displaystyle -\frac{\hbar ^2}{2m_{de}}\nabla^2\psi+V(x,y,z)\psi =E\psi

と表される。1辺Lの立方体の半導体結晶とすると、ポテンシャルV(x,y,z)は、

V(x,y,z) = \begin{cases} E_{C} (0 \leq x,y,z \leq L) \\ \infty (otherwise) \end{cases}

したがって、E' = E-E_{C}とすると、

\displaystyle -\frac{\hbar ^2}{2m_{de}}\nabla^2\psi =E'\psi

となる。このとき、波動関数\psiは、

\psi = \displaystyle \( \frac{2}{L} \) ^{3/2} \sin k_{x} \sin k_{y} \sin k_{z}

と解けます。これを先ほどのシュレーディンガー方程式に代入すると、

E' = \dsiplaystyle \frac{\hbar ^2}{2m}(k^{2}_{x} + k^{2}_{y} + k^{2}_{z})

となります。今、無限の高さの障壁をもつ矩形井戸を考えているため、x,y,z = L\psi = 0となることから、

k_{i} = \displaystyle \frac{\pi}{L}n_{i}

という制限が生じます。ここで、n_{i} = 1, 2, 3, \cdotsとなります。

三次元波数ベクトル空間で許容される状態の値は、E' = \dsiplaystyle \frac{\hbar ^2 k ^2}{2m}=一定の、等エネルギー面を表します。状態密度は、等エネルギー球内の状態数Z(E')をエネルギーで微分することによって得られる。すなわち、N(E') = dZ/dE'で表されます。

ここで、先ほどの境界条件から波数ベクトルの値は、波数ベクトル空間で各成分が正の値をとる8分の1の領域に限定されます。また、一つの\bm{k}点に対応する体積V_{k} = (\pi / L)^{3}で表されます。
エネルギー面E'(\bm{k})E'(\bm{k})+dE'を境界とする薄い球殻の体積を考え、これを一つの\bm{k}点に対応する体積で割ると、

dZ = \displaystyle \frac{1}{8} 4\pi k^{2} dk/(\pi /L)^{3}

となります。dE' = (\hbar ^{2}k/m)dkなので、

dZ = \displaystyle \frac{(2m)^{3/2}}{4\pi ^{2}\hbar ^{3}}E' ^{1/2} dE'

となります。ここまでの計算では電子のスピンについて考慮されていません。電子のスピンを考慮すると状態数はこの2倍になります。また、半導体の等価な伝導帯下端の数を考慮すると、

N(E) = \displaystyle M_{C}\frac{\sqrt{2}}{\pi ^2}\frac{m_{de}^{3/2}(E-E_{C})^{1/2}}{\hbar ^3}

が得られます。以上により、半導体の状態密度が導かれました。

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