【数学IA】対称式・交代式

今回は、対称式・交代式について紹介します。まずは、次の2つの式を因数分解してみましょう。

  1. (a+b)(b+c)(c+a)+abc
  2. a^2(b-c) + b^2(c-a)+c^2(a-b)

ポイント:1つの文字について整理する

因数分解のポイントとして、一つの文字について整理することがあげられます。早速、式1.でやってみましょう。

(a+b)(b+c)(c+a)+abc

=(b+c)a^2+\{ (b+c)^2+bc\} a + bc(b+c)

となります。各項に共通因数はありません。・・・が、たすき掛けで因数分解できることに気づきます。

(b+c)a^2+\{ (b+c)^2+bc\} a + bc(b+c)

=\{ a+(b+c)\} \{ (b+c)a+bc\}

=(a+b+c) (ab+bc+ca)

綺麗な形に因数分解することができました。続いて、式2.も同様に一つの文字について整理して、因数分解してみましょう。

a^2(b-c) + b^2(c-a)+c^2(a-b)

=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2

=(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)

=(b-c)\{ a^2-(b+c)a+bc\}

=(b-c)(a-b)(a-c)

=-(a-b)(b-c)(c-a)

と因数分解できます。

ポイント2:輪環の順

3文字a, b, cについて、2文字の和・差・積を並べて書くときには、輪環の順に書くことが基本です。

a+b→b+c→c+a

a-b→b-c→c-a

ab→bc→ca

こうすることで、式が見やすくなり、間違いも減らすことができます。文字もa, b, cだけでなく、x, y, zなどでも同様に書きます。

対称式とは?

対称式とは、式の中のどの2つの文字を入れ替えても、もとの式と同じ式になる多項式のことを対称式と言います。実は、先ほどの式1.は対称式となっています。

そして、対称式には重要な性質があって、対称式は基本対称式で表すことができるという性質があります。

基本対称式は、a, b2つの文字の場合、a+b, abの2つ、a, b, c3つの文字の場合、a+b+c, ab+bc+ca, abcが基本対称式になります。

式1.を因数分解した結果とも一致しています。

交代式とは?

交代式とは、式の中のどの2つの文字を入れ替えても、もとの式と符号だけが変わる式のことを交代式と言います。先ほどの式2.が交代式になっています。

交代式の重要な性質は、①a, b2つの文字の交代式は、(a-b)を因数にもつ、②a, b, c3つの文字の交代式は、(a-b)(b-c)(c-a)を因数にもつ、という2つです。

このことを知っていると、因数分解の検算に使うことができます。

まとめ

今回は、対称式・交代式について、因数分解の問題を使って紹介しました。対称式や交代式は大学で勉強する数学や物理、化学などなどで頻繁に出てきます。特に3次元の計算をするときに3つの文字の対称式や交代式が現れます。対称式は基本対称式で表されること、交代式の因数を覚えておくと便利でしょう。

それでは、最後までお読みいただきありがとうございます。また次の記事でお会いしましょう。

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はじめまして!”あおやぎ”と言います。
メーカーで研究開発の仕事をしています。このブログでは、私の専門分野である半導体やそれに関連する内容を紹介していきます。
半導体関連の知識をまとめたデータベースのようにしたいなと思っています。

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