【半導体物理】状態密度有効質量

状態密度関数を求めた際に、有効質量m_{de}^{*} = (m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}と表され、これを状態密度有効質量と呼びます。この状態密度有効質量がどのように導出されるのでしょうか。

まず、波数がk_{x} ~ k_{x} + dk_{x}, k_{y} ~ k_{y} + dk_{y}, k_{z} ~ k_{z} + dk_{z}の間にある電子の状態数は、

N(k) dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \displaytstyle 2 \times \frac{V}{\left( 2\pi \right) ^{3}}dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \frac{V}{4\pi ^{3}}k^{2} dk

と表されます。

エネルギーが

E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}

のとき、

N(E)dE = \displaystyle \frac{V}{2\pi ^{2}}\left( \frac{2m^{*}}{\hbar ^{2}} \right) ^{3/2} E ^{1/2} dE

となります。もし、E(k)が、

E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2}k_{x}^{2}}{2m_{1}} + \frac{\hbar ^{2}k_{y}^{2}}{2m_{2}} + \frac{\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m_{3}}

の場合はどうすればよいでしょうか。ここで、次のような変数変換

k'_{x} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{1}} \right) ^{1/2} k_{x}, k'_{y} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{2}} \right) ^{1/2} k_{y}, k'_{z} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{3}} \right) ^{1/2} k_{z}

を行うと、

N(k) dk = \displaystyle \frac{V}{4\pi ^{3}}dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \frac{V}{4\pi ^{3}}\left( \frac{m_{1}m_{2}m_{3}}{m^{3}}\right) dk'_{x}dk'_{y}dk'_{z}

となります。ここで、

E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2} k'^{2}}{2m}

\displaystyle \frac{dE}{dk'} = \frac{\hbar ^{2}}{2m} k', k' = \sqrt{\frac{2m}{\hbar ^{2}}E}

より、

N(E) dE = \displaystyle \frac{V}{2\pi ^{2}}\left( \frac{2(m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}}{\hbar ^{2}} \right) ^{3/2} E^{1/2} dE

が得られ、したがってm_{de}^{*} = (m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}と表されます。

正孔に関しては、重い正孔と軽い正孔の二つがあるので、状態密度は2つの和で表されるため、状態密度有効質量は、

m_{dh}^{*} ^{3/2} = m_{HH}^{3/2} + m_{LH}^{3/2}

となります。

以上が、状態密度有効質量の導出になります。

参考文献

[1] 御子柴 宜生 著、半導体の物理

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はじめまして!”あおやぎ”と言います。
メーカーで研究開発の仕事をしています。このブログでは、私の専門分野である半導体やそれに関連する内容を紹介していきます。
半導体関連の知識をまとめたデータベースのようにしたいなと思っています。

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