【半導体物理】状態密度有効質量

状態密度関数を求めた際に、有効質量 $m_{de}^{*} = (m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}$ と表され、これを状態密度有効質量と呼びます。この状態密度有効質量がどのように導出されるのでしょうか。

まず、波数が $k_{x} ~ k_{x} + dk_{x}, k_{y} ~ k_{y} + dk_{y}, k_{z} ~ k_{z} + dk_{z}$ の間にある電子の状態数は、

$N(k) dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \displaytstyle 2 \times \frac{V}{\left( 2\pi \right) ^{3}}dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \frac{V}{4\pi ^{3}}k^{2} dk$

と表されます。

エネルギーが

$E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}$

のとき、

$N(E)dE = \displaystyle \frac{V}{2\pi ^{2}}\left( \frac{2m^{*}}{\hbar ^{2}} \right) ^{3/2} E ^{1/2} dE$

となります。もし、 $E(k)$ が、

$E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2}k_{x}^{2}}{2m_{1}} + \frac{\hbar ^{2}k_{y}^{2}}{2m_{2}} + \frac{\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m_{3}}$

の場合はどうすればよいでしょうか。ここで、次のような変数変換

$k'_{x} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{1}} \right) ^{1/2} k_{x}, k'_{y} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{2}} \right) ^{1/2} k_{y}, k'_{z} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{3}} \right) ^{1/2} k_{z}$

を行うと、

$N(k) dk = \displaystyle \frac{V}{4\pi ^{3}}dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \frac{V}{4\pi ^{3}}\left( \frac{m_{1}m_{2}m_{3}}{m^{3}}\right) dk'_{x}dk'_{y}dk'_{z}$

となります。ここで、

$E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2} k'^{2}}{2m}$

$\displaystyle \frac{dE}{dk'} = \frac{\hbar ^{2}}{2m} k', k' = \sqrt{\frac{2m}{\hbar ^{2}}E}$

より、

$N(E) dE = \displaystyle \frac{V}{2\pi ^{2}}\left( \frac{2(m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}}{\hbar ^{2}} \right) ^{3/2} E^{1/2} dE$

が得られ、したがって $m_{de}^{*} = (m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}$ と表されます。

正孔に関しては、重い正孔と軽い正孔の二つがあるので、状態密度は2つの和で表されるため、状態密度有効質量は、

$m_{dh}^{*} ^{3/2} = m_{HH}^{3/2} + m_{LH}^{3/2}$

となります。

以上が、状態密度有効質量の導出になります。

参考文献

[1] 御子柴宜生著、半導体の物理

【半導体物理】状態密度有効質量

参考文献

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