【半導体】ホール測定による移動度測定

半導体において、キャリアである電子（もしくは正孔）の移動度測定は重要な物性です。
特に電子デバイスにおいてはそれが電流-電圧特性を左右しますので、実際の移動度がどのくらいなのか評価する必要があります。

キャリアの移動度を評価する方法としては、ホール測定が広く用いられています。
ここでは、ホール測定の原理について説明します。

ホール効果とは

図のように $x$ 方向に電流 $I_{x}$ を流し、 $z$ 方向に磁場 $B_{z}$ をかけます。すると、電荷にはローレンツ力がかかり、次のようにあらわされます。

$\displaystyle F_{L} = q \cdot (v \times B)$

電流が流れているときは電荷が平均して $x$ 方向に一定の速度で移動していると考えられるので、平均速度を $<v_{x}>$ とすると、ローレンツ力は $y$ 方向に平均され、

$<F_{L}> = -q<v_{x}>B_{z}$

と表されます。

電荷はローレンツ力によって加速されます。すると、電荷は面AまたはBに移動し、 $y$ 方向に電場 $E_{y}$ が発生します。この電場 $E_{y}$ をHall電場といいます。電荷の移動はやがて平衡状態になり、平衡状態では $E_{y}$ は次のようにあらわされます。

$<F_{L}> + qE_{y} = -q<v_{x}>B_{z} + qE_{y} = 0$

電荷が一種類の場合、 $x$ 方向に流れる電流は次のようにあらわされます。

$j_{x} = nq<v_{x}>$

式から電子の速度を消すと、

$\displaystyle \frac{E_{y}}{j_{x}B_{z}} = \frac{1}{nq}$

となります。すなわち、サンプルに印加した磁場と電流、ホール効果によって生じた電場を測定することによって、電荷の種類と密度を算出することができます。

次にホール効果を使って移動度を測定する方法について説明します。

ホール測定

ホール測定はホール効果によって多数キャリア濃度を求め、試料のシート抵抗から移動度を算出するします。

先ほどの図でx方向に電流 $I_{x}$ を流しながら、z方向に磁場 $B_{z}$ をかけ、y方向に生じるホール電圧 $V_{H}$ を測定します。

多数キャリア濃度を $n$ とすると、ホール電圧は、次のようにあらわされます。

$\displaystyle V_{H} = R_{H} \cdot \frac{I_{x}B_{z}}{t}$

$\displaystyleR_{H} = \frac{\gamma _{H}}{qn}$

ここで、 $R_{H}$ をホール係数、 $\gamma _{H}$ を散乱因子と呼びます。キャリアは半導体中を移動するとき、様々な要因で散乱されます。散乱因子はそれらのキャリア散乱を考慮するための係数で、多数キャリア濃度 $n$ を精度良く見積もる場合は正しい値を入力する必要があります。ですが、通常は散乱因子を1と仮定して報告されます。正確にキャリア散乱について解析したい場合は測定温度依存性を評価する必要があります。

上の式より、多数キャリア濃度が次のように表されます。

$\displaystyle n = \frac{I_{x}B_{z}}{qt}$

シート抵抗 $R_{s}$ と抵抗率 $\rho$ は次のようにあらわされます。

$\displaystyle R_{s} = \frac{\rho}{t}$

$\displaystyle \rho = \frac{1}{qn\mu }$

シートキャリア密度 $N_{s} = n \cdot t$ とすると、

$\displaystyle \mu = \frac{1}{q R_{s}N_{s}}$

とあらわされます。

シート抵抗の測定は４端子法で測定するのですが、試料の電気伝導に異方性があるかどうかで試料の形状を変える必要があります。

電気伝導に異方性がない場合

異方性がない場合、van der Pauw法で測定します。試料の形状は下図のとおりです。

van der Pauw法の試料形状

シート抵抗を測定する場合は、電極AB間に電流 $I_{AB}$ を流し、電極DC間の電圧 $V_{DC}$ を測定し、

$\displaystyle R_{AB, DC} = \frac{V_{DC}}{I_{AB}}$

を求めます。同様に $R_{BC, AD}$ も求めます。シート抵抗 $R_{s}$ は次のように求められます。

$\displaystyle R_{s} = \frac{\rho}{t} = \frac{\pi }{\ln 2}\cdot \frac{R_{AB, DC} + R_{BC, AD}}{2} \cdot f$

$\displaystyle \left| \frac{R_{AB, DC}-R_{BC, AD}}{R_{AB, DC}+R_{BC, AD}}\right| = \frac{f}{\ln 2} \arccosh \left[ \frac{\exp (\ln 2 /f)}{2}\right]$

$f$ は解析的には解けないので、プログラムを使って計算させて求めます。

ホール電圧は電極Aから電極Cに電流 $I_{AC}$ を流し、上から下へ磁場 $(+B)$ を印可したときに電極DB間に発生する電圧 $(V_{DB})$ を測定します。 $V_{DB}$ が $V_{H}$ , $I_{AC}$ が $I_{x}$ に相当するので、シートキャリア密度を求めることができ、移動度を算出することができます。