sciencompass

今勉強していること、これまで勉強してきたことを発信してます。半導体物理や数学、英語などの記事を書いています。

半導体物理

【半導体物理】状態密度有効質量

投稿日:

状態密度関数を求めた際に、有効質量m_{de}^{*} = (m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}と表され、これを状態密度有効質量と呼びます。この状態密度有効質量がどのように導出されるのでしょうか。

まず、波数がk_{x} ~ k_{x} + dk_{x}, k_{y} ~ k_{y} + dk_{y}, k_{z} ~ k_{z} + dk_{z}の間にある電子の状態数は、

N(k) dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \displaytstyle 2 \times \frac{V}{\left( 2\pi \right) ^{3}}dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \frac{V}{4\pi ^{3}}k^{2} dk

と表されます。

エネルギーが

E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}

のとき、

N(E)dE = \displaystyle \frac{V}{2\pi ^{2}}\left( \frac{2m^{*}}{\hbar ^{2}} \right) ^{3/2} E ^{1/2} dE

となります。もし、E(k)が、

E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2}k_{x}^{2}}{2m_{1}} + \frac{\hbar ^{2}k_{y}^{2}}{2m_{2}} + \frac{\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m_{3}}

の場合はどうすればよいでしょうか。ここで、次のような変数変換

k'_{x} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{1}} \right) ^{1/2} k_{x}, k'_{y} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{2}} \right) ^{1/2} k_{y}, k'_{z} = \displaystyle \left( \frac{m}{m_{3}} \right) ^{1/2} k_{z}

を行うと、

N(k) dk = \displaystyle \frac{V}{4\pi ^{3}}dk_{x}dk_{y}dk_{z} = \frac{V}{4\pi ^{3}}\left( \frac{m_{1}m_{2}m_{3}}{m^{3}}\right) dk'_{x}dk'_{y}dk'_{z}

となります。ここで、

E(k) = \displaystyle \frac{\hbar ^{2} k'^{2}}{2m}

\displaystyle \frac{dE}{dk'} = \frac{\hbar ^{2}}{2m} k', k' = \sqrt{\frac{2m}{\hbar ^{2}}E}

より、

N(E) dE = \displaystyle \frac{V}{2\pi ^{2}}\left( \frac{2(m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}}{\hbar ^{2}} \right) ^{3/2} E^{1/2} dE

が得られ、したがってm_{de}^{*} = (m_{1}m_{2}m_{3})^{1/3}と表されます。

正孔に関しては、重い正孔と軽い正孔の二つがあるので、状態密度は2つの和で表されるため、状態密度有効質量は、

m_{dh}^{*} ^{3/2} = m_{HH}^{3/2} + m_{LH}^{3/2}

となります。

以上が、状態密度有効質量の導出になります。

参考文献

[1] 御子柴 宜生 著、半導体の物理

-半導体物理
-, ,

執筆者:


comment

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

関連記事

【半導体物理】Si基板上へのGaN成長【結晶成長】

GaNはバンドギャップの大きな半導体材料であり、そのバンドギャップの大きさを利用して、青色から紫外のLEDやパワーデバイス、高周波デバイスに利用されています。特に、2014年のノーベル物理学賞はGaN …

格子面間隔の計算方法-立方晶-

結晶格子の面間隔を計算する方法について、紹介します。今回は立方晶について説明します。 目次結晶格子の面間隔を計算する理由逆格子ベクトルを用いる立方晶の場合の格子面間隔Si, GaAsの格子面間隔App …

【半導体物理】状態密度関数の算出

フェルミ準位の算出や半導体中のキャリア密度の算出は半導体物理の基礎とされています。例えば、半導体の伝導帯中に存在する電子数は、 であらわされます。は伝導帯の状態密度関数、は電子の状態の占有確率でフェル …

半導体物理:結晶構造(3) ~ミラー指数~

皆さんこんにちは! 半導体物理の紹介をしていきます。前回、半導体として広く使われているシリコン(Si)と砒化ガリウム(GaAs)(ガリウム砒素と呼ぶことが多いです。)、それから最近ノーベル賞にもなった …

半導体物理:結晶構造(4)

今回は、逆格子について説明します。今回の記事で、半導体物理の基礎としての結晶構造の話は最後になります。逆格子はわかりにくい内容ですが、X線回折による結晶性の評価を行う際に役立つ内容です。私も仕事でX線 …