結晶格子面のなす角を導出する

このページでは、面方位が異なる結晶格子面がなす角度を計算する方法についてまとめます。
X線回折測定をするときに非対称面を観察するためにω、２θを何度に設定すればいいのか、計算するためにまとめたものになります。
最後の結果を公式として覚えておけば、面指数を決めれば簡単に計算することが出来ます。

面のなす角を求めるには

一般的に、面のなす角は、面の法線ベクトルのなす角と等しいです。そのため、法線ベクトル同士の内積から求めることが出来ます。
二つの面の法線ベクトルを ${\bf n}_{1}, {\bf n}_{2}$ とすると、

${\bf n}_{1}\cdot {\bf n}_{2} = | {\bf n}_{1} | | {\bf n}_{2} | \cos \phi$

ここで、 $\phi$ が、二つの面のなす角となります。

逆格子ベクトルを使う

格子面の法線ベクトルを求めればよいことがわかりました。では、どうやって法線ベクトルを求めるか、となります。
実は、結晶面の場合には、とあるベクトルが格子面に垂直であることが知られています。そのベクトルとは、逆格子ベクトルです。
(逆格子ベクトルが格子面に垂直であることの証明は、この後紹介するページのAppendixに記述しています。)

したがって、逆格子ベクトルの内積を計算すれば格子面のなす角を求めることが出来ます。 $(h k l)$ 面の逆格子ベクトルを ${\bf K}_{hkl}$ とし、 $(h k l)$ 面と $(h' k' l')$ 面のなす角を $\phi$ とすると、

${\bf K}_{hkl} \cdot {\bf K}_{h'k'l'} = | {\bf K}_{hkl} | | {\bf K}_{h'k'l'} | \cos \phi (1)$

となります。

また、 $(h k l)$ 面の格子面間隔を $d_{hkl}$ とすると、

$\displaystyle d_{hkl} = \frac{2\pi}{|{\bf K}_{hkl}|} (2)$

という関係が成り立ちます。

立方晶の場合

立方晶の場合、逆格子ベクトル ${\bf K}_{hkl}$ は次のようにあらわされます。

$\displaystyle {\bf K}_{hkl} = h{\bf a}^{*} + k{\bf b}^{*} + l{\bf c}^{*}=\frac{2\pi}{a} \left( \begin{array}{c} h \\ k \\ l \end{array} \right)$

sciencompass

格子面間隔の計算方法-立方晶-

http://sciencompass.com/semiconductor_physics/dhkl_cubic

結晶格子の面間隔を計算する方法について、紹介します。今回は立方晶について説明します。結晶格子の面間隔を計算する理由結晶構造を調べる際の代表的な手法の一つにX線回折(XRD: X-Ray Diffraction)測定があります。XRD測定では結晶の格子面で反射したX線の強度と反射角を測定して、結晶構造を調べることができます。また、測定した結晶の結晶性がどのくらい良いか評価することもできます。XRD測定をするときに反射したX線のピーク角度から格子面間隔を求めることができますが、その面が結晶のどの面なのかを判断する必要があります。...

あとは式(1), (2)のように、内積を計算すると、

$\cos \phi = \displaystyle \frac{hh' + kk' + ll'}{\sqrt{h^{2} + k^{2} + l^{2}}\sqrt{h'^{2} + k'^{2} + l'^{2}}}$

が得られます。

六方晶の場合

六方晶の場合、逆格子ベクトル ${\bf K}_{hkl}$ は次のようにあらわされます。

$\displaystyle {\bf K}_{hkl} = h{\bf a}^{*} + k{\bf b}^{*} + l{\bf c}^{*}=2\pi \left( \begin{array}{c} \frac{h}{a} \\ \frac{h+2k}{\sqrt{3}a} \\ \frac{l}{c} \end{array} \right)$